Vytautas Bieliauskas

Kazimieras
Bradūnas

Jonas
Grinius

Paulius
Jurkus

Antanas
Vaičiulaitis

Juozas
Girnius

Leonardas
Andriekus

 
   
 
MATEMATIKA PDF Spausdinti El. paštas
Parašė PROF. VIKTORAS BIRŽIŠKA   
Beveik kiekvieno tautos visuomenės sluoksniuose (lietuviškoji inteligentija nėra, deja, šiuo atveju jokia išimtis) yra paplitusi keista, perdėm klaidinga pažvalga į matematiką. Matematika laikoma slaptu, prieinamu tik rinktiniams žmonėms mokslu, kuriame viskas jau galutinai susikristalizavę, kuriame nebelikę jokios neišspręstos problemos, jokio atviro, laukiančio dar išsprendimo klausimo, ir kuriame todėl nebesanti įmanoma jokia raida. Savo absoliučią matematikos ignoranciją visuomenė įrodo apsčiai paplitusiais, nors ir tokiais posakiais: "didesnioji pusė, mažesnioji pusė", "pirmų pirmiausia" ir panašiai. Visose tose nesąmonėse, kurias visuomenė prikergia matematikai, dažnai atsispindi neigiamieji įspūdžiai, gauti iš mokyklinio suolo: silpni, neprityrę matematikos mokytojai sugeba savo mokinių tarpe įdiegti net neapykantą matematikai, perkėlę jos svorio centrą į matematiškąsias formulas Eilinis aštuntosios klasės gimnazijos mokinys, paklaustas, kas yra matematika, geriausiu atveju tesugeba atsakyti: "tai yra artimetika, algebra, geometrija ir trigonometrija" — o matematikos esmė lieka jam visai svetima ir nesuprantama. Koks gi, galop, per mokslas ta matematika, kas sudaro matematikos esmę?

Savo amžiumi matematika yra, be abejo, visų seniausias mokslas: jos amžius siekia nemažiau kaip 5000 m. Seniausias ligi šiol žinomas matematikos raštas yra hieroglifiškieji užrašai viename Egipte rastame papiruse, priklausančiame papirusų Rhindo kolekcijai britų muziejuje Londone. Šis susuktas į ritulį papirusas, ištęstas vienoje plokštumoje, daro stačiakampainio pavidalo 20 m ilgio ir 30 cm pločio geltonos pilkos spalvos juostą Jį aptiko Egipte anglas Rhind 1850 m. skardinėje dėžėje ir savo pirkinį kartu su kitais Egipte įgytaisiais papirusais yra perleidęs britų muziejui. Šis Rhindo papirusas 1876 m. vokiečio Eisenlohro buvo išverstas vokiečių kalba. Tas raštas buvo surašytas egiptiečio raštininko Ah-meso, papirusų žinovų teigimu, tarp 1200— 1700 m. prieš Kr. ir yra Ahmeso mokyklinis skaičiavimo vadovėlis. Šiame papiruse Ahmes yra surašęs "vadovėlį visiems slaptiesiems dalykams pažinti" ir nurodęs, kad, jį rašydamas, esąs pasinaudojęs žymiai senesniais šaltiniais. Tad 5000 m. matematikos amžiaus nustatymas nė kiek nėra perdėtas O papiruso užrašų antraštė, mininti "slaptuosius" dalykus, rodo, kad pilietinė pažvalga į matematiką, kaip į "slaptąjį" kultą, taip pat turi apytikriai 5000 m. amžiaus.

Šiame seniausiame matematiniame dokumente dar nefigūruoja žodis "matematika", kuris atsirado daug vėliau ir yra kilęs iš graikiško žodžio manthano — mokausi ir reiškia mokslų mokslą, lygiai kaip Šventojo Rašto pavadinimas biblija kilęs iš senosios graikų kalbos žodžio biblios — knyga ir reiškia knygų knygą. Dar viduramžių laikais matematika buvo vadinamas mokslų ketvertas — ąuadrivium, į kurį įėjo: aritmetika, geometrija, astronomija ir. . . muzika. Tad suprantama, kodėl tais laikais matėme, tikos atitikmenį prancūzų kalboje turėjo žodis: les mathėmatiąues (daugiskaitos vardininkas), kuris tik XVII a. virto daiktavardžio vie-neskaitos vardininku: la mathėmatiąue. XVIII a. pabaigoje ir XIX a. pirmojoje pusėje matematika buvo suprantama kaip mokslas, nustatąs dydžių savumus ir nusakančius šiuos savumus dėsnius. Dydžiu matematikoj vadinama visa tai, kas gali būti laikoma sau lygiu arba nelygiu, paskutiniuoju (nelygybės) atveju patenkinančiu santykiavimą: "mažiau" arba "daugiau". Pvz., laikas, ilgis, plotis, aukštis, plotas, tūris, darbas, talpa, slėgis, greitis, pagreitis, protas, grožis ir kt. yra dydžiai. Tarp visų dydžių randame dviejų pagrindinių rūšių dydžius: matuojamuosius ir nematuojamuosius.

Matuojamiesiems arba, anot vokiečių genialaus matematiko ir astronomo Karolio Frideriko Gausso (1777—1855), efektyviesiems dydžiams galima nustatyti matavimo vienetai, ir tada kiekvieno efektyviojo dydžio reikšmė galima išreikšti to dydžio matavimo vienetu, nustačius, kiek kartų tas vienetas telpa tiriamojo dydžio reikšmėje. Matematikos tyrimo objektus sudaro tik matuojamieji dydžiai, kurių kitimo eigą matematika įvertina tik kiekybiniu, o ne kokybiniu atžvilgiu. Matematikos metodais matuojamųjų dydžių ištirtuosius savumus nusako atitinkamieji dėsniai. Nematuojamųjų dydžių kitimo procesams ištirti ir tų procesų dėsningumui nusakyti matematika yra bejėgė. Šia prasme toks nematuojamasis dydis, kaip, pvz., protas, negali patekti į matematikos tyrimo laboratoriją, nors protas neabejotinai yra dydis: pvz., vienas žmogus yra protingesnis, negu kitas, kuris yra už pirmąjį žmogų kvailesnis. Tačiau apie dviejų žmonių protų ir atitinkamųjų protingumų lygybę negali būti kalbos, jokiam galimumui nesant proto vienetui nustatyti; todėl negalima teigti, kiek proto vienetų turi kiekvienas tiriamasis protas, ir a fortiori (juo labiau) negalima atsakyti į klausimą: kiek kartų vieno žmogaus protas yra didesnis, negu kito žmogaus protas, t. y. kiek kartų vienas žmogus yra protingesnis už kitą? Ši matuojamųjų dydžių priklausomybė matematikos tyrimo objektams ir buvo priežastimi, kodėl Gauss apibrėžė matematiką kaip efektyvių dydžių mokslą, ir ligi XIX a. pabaigos matema-
 
A.   TAMOŠAITIENĖ  Pirštinės Suvalkiečių krašto motyvais
 
tika buvo laikoma mokslu apie matuojamųjų dydžių kitimo dėsnius.

Tačiau tokia matematikos apibrėžtis turėjo būti atmesta, nes ši definicija eliminavo iš matematikos šakų tarpo tokias neabejotinai matematiškąsias disciplinas, kaip kombinatorika (junginių teorija), grupių teorija, aibių teorija, topologija, kurios dydžiais visai neoperuoja. Todėl tenka rasti bendras pažymys, nustatąs, kad tiriamoji mokslo šaka priklauso matematikai. Tokį pažymį pagarsėjęs prancūzų matematikas Henry Poincarė (1856—1912) įžiūri begalybės sąvokoje ir apibrėžia matematiką kaip mokslą apie begalybę. Tačiau ši sąvoka nėra būdinga kiekvienai matematikos šakai ir nedaro matematikos kertinio akmens. Neveltui senieji graikų matematikai: Talesas iš Mileto (624—548 prieš Kr.), filosofas-geometras Platonas iš Atėnų (429—348 pr. Kr.) ir Euklidas (g. 365 pr. Kr.) visai liovėsi vartoję savo darbuose net patį terminą: "begalybę". Pavyzdžiui, Euklidas, norėdamas nusakyti dėsnį, kad pirminių natūrinių skaičių yra be galo daug, rašo šiaip: "Pirminių skaičių egzistuoja daugiau, negu jų yra bet kurioje pirminių skaičių aibėje". Čia pirminiais (vieniniais) vadinami tokie natūriniai skaičiai, kurie turi du ir tiktai du skirtingus natūrinius daliklius: vienetą ir save. Tad natūriniai pirminiai skaičiai yra: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ... O aibė vadinama mūsų mąstymo bei stebėjimo skirtinių objektiį, sankuopa visumon (Jurgio Cantoro apibrėžtis). Graikų sofistai stengėsi įrodyti, kad begalybės sąvokoje glūdi logiškų prieštaravimų. Matematika operuoja tiesioginėmis tikrosiomis teigiamomis ir neigiamomis begalybėmis ir netiesioginėmis begalybėmis, neturinčiomis jokio apibrėžto ženklo. Šios pastarosios gaunamos, dalant bent koki baigtini nelygų nuliui skaičių nuliu. Kintamajam skaičiui, t. y. tokiam, kurio reikšmė nėra vienoda — pastovi, bet kuris turi be galo daug skirtingų tikrųjų reikšmių, žymėti vartojamas simbolis +00,1 jei šio kintamojo skaičiaus visos reikšmės yra teigiamos, sudarydamos nepabaigiamąją tikrųjų teigiamųjų skaičių aibę, ir 2) jei sutvarkius šią aibę taip, kad visos reikšmės sudarytų nuolat didėjančių skaičių aibę, gaunama, kad pradedant nuo tam tikros kintamojo skaičiaus reikšmes, ši teigiamoji reikšmė ir visos tolesnės teigiamosios reikšmės virsta ir lieka didesnės, negu bet kuris laisvas parinktas teigiamas skaičius. Tatai trumpai nusakoma šiaip: teigiamas kintamas skaičius yra lygus plius begalybei, jei jo nuolat didėjančioje reikšmių aibėje pakankamai tolimi nuo pradinės reikšmės teigiamieji skaičiai (aibės elementai) yra kiek norint dideli. Neigiamas kintamas skaičius yra minus begalybė, jei jo nuolat mažėjančių neigiamųjų reikšmių, t. y. nuolat didėjančių šių reikšmių absoliučių didumų nepabaigiamoje aibėje pakankamai tolimų nuo pradinės neigiamos reikšmės neigiamųjų reikšmių (aibės elementų) absoliutūs didumai yra kiek norint dideli. Atmetus matematikos definiciją, kaip mokslo apie begalybę, tenka taip pat atmesti matematikos apibrėžtį, kaip aibių mokslo, kaip tatai buvo norėta definuoti kai kurių matematikų XIX-ojo amžiaus pabaigoje, nes ir aibės sąvoka nėra matematikai būdinga.

Baigtinių ir nepabaigiamųjų aibių savumus ir nusakančius šiuos savumus dėsnius tiria ir nustato speciali matematikos disciplina, Jurgio Cantoro (1845—1918) XIX-am a. sukurta aibių teotrija. Aibės objektais, vadinamais elementais, gali būti ne tik skaičiai, bet ir lygtys vienu nežinomuoju ar keliais nežinomaisiais, šių lygčių sistemos, tikrųjų ar kompleksinių nepriklausomųjų kintamųjų dydžių (argumentų) priklausomieji kintamieji dydžiai — šių argumentų matematiškosios funkcijos, vieno ar kelių argumentų tolydžios ar trūkios (netolydžios) funkcijos obuoliai ant obels, mokiniai klasėje, studentai auditorijoje, knygos bibliotekoje ir pan. Tuo būdu aibės gali operuoti elementais, nieko bendro su matematika neturinčiais. Savaime aišku, kad baigtinės ar nepabaigiamos aibės, sudarytos iš vienodų nors ir pasikartojančių elementų, turi būti laikomos vienodos. Tačiau aibių negalima laikyti dydžiais, nes nelygioms aibėms svetimas yra santykiavimas: "mažiau" arba "daugiau". Jei dvi baigtinės aibės turi nevienodą elementų skaičių ir jei mes būtume susitarę didesne baigtine aibe laikyti tą, kuri turi daugiau elementų, tai kas galėtų atsakyti į klausimą: katra dviejų nepabaigiamųjų aibių, kurių kiekviena turi be galo daug elementų, yra didesnė? Klausimas šiuo atveju būtų likęs be jokio atsakymo. Tad neįmanoma aibės lyginti pagal jų elementų skaičių: J. Cantoro pasiūlymu, aibės lyginamos pagal savo tūrį, kurį nustato aibės galia, žymima simboliu-ženklu ^ (skaityk: alef), vadinamu kardinaliniu skaičiumi. Anot Cantoro, aibės galia yra aibės metmuo (projekcija) mūsij, dvasioje. Dvi aibės laikomos vienodai galingomis, jei tarp šių aibių elementų galima nustatyti tobula, t. y. vienareikšmė ir apverčiama atitinkamybė, taip, kad kiekvieną tiriamos aibės elementą atitiktų vienas ir tiktai vienas kitos palyginamos su ja (vienodai galingos) aibės elementas, ir atvirkščiai, kad tuo pat metu kiekvieną antrosios aibės elementą atitiktų vienas ir tiktai vienas pirmosios aibės elementas. Baigtinėms aibėms galios idėja sutampa su jų elementų skaičiaus idėja. Visos nepabaigiamos aibės, vienodai galingos su natūrinių skaičių aibe, vadinamos suskaitytinėmis aibėmis. Suskaitytinių aibių visi elementai galima sunumeruoti, pagal jų užimamas aibėje vietas. Pvz., visų natūrinių lyginių skaičių suskaitytinėje aibėje skaičius 2 sudaro pirmąjį elementą, skaičius 4 — antrąjį elementą, skaičius 6 — trečiąjį elementą, skaičius 504 — du šimtu penkiasdešimt antrąjį elementą, skaičius 1008 — penki šimtai ketvirtąjį elementą ir t. t. Nepabaigiamos aibės, kurių elementų negalima sunumeruoti, ir kurių galia yra tuo būdu didesnė, negu visų natūrinių skaičių aibės galia, vadinamos nesuskaitytinėmis aibėmis. Pvz. yra nesuskaitytinė visų vieno tikrojo argumento tolydinių tikrųjų funkcijų aibė ir pan.

Neidentifikuojant matematikos su aibių teorija, tenka atmesti ir matematikos sutapatybini-mas su logika, nors tendencija matematikai suta-patybinti su formalia logika aiškiai reiškėsi kai kuriose matematikose XX-ojo amžiaus pradžioje. Logika yra taisyklingo protavimo mokslas, nusta-tąs dėsningo protavimo savumus ir nusakančius šiuos savumus dėsnius. Nors matematika, kaip ir kiekvienas tikras mokslas, grindžia savo mokslinę statybą grynai logiškais pamatais, savo išvadose turi būti griežtai logiška ir turi vengti bent mažiausio prieštaravimo logikos nesugriaunamiems dėsniams, bet logikos gvildenami taisyklingo protavimo procesai yra proto veiklos procesai, o protas, nebūdamas matuojamuoju dydžiu, kaip aukščiau buvo pastebėta, negali sudaryti matematikos tyrimo objekto.

Užtat matematikai yra būdinga skaičiaus sąvoka: kiekviena grynosios matematikos disciplina operuoja skaičiais, baigtiniais ar nebaigiamais, be galo mažais ar be galo dideliais, pakankamai mažais ar pakankamai dideliais, kiek norint mažais ar kiek norint dideliais, pastovias ar kintamais. Skaičiai yra tvarkomos proto veiklos dariniai, išreiškiami ženklais (simboliais), kurie yra jungiami ir derinami pagal taisykles (nusakytus dėsnius), kurias savo ruožtu nustato grynai logiškos apibrėžtys. *) Šiąja skaičiaus definicija pagrįsta matematika yra skaičių mokslas. Tir-dama savo metodais išoriniai chaotiškus gamtos procesus, matematika įvertina šiuos vyksmus kiekybiniu atžvilgiu, išskirdama iš šių procesų pasireiškiančius juose matuojamus kintamus dydžius, kuriems ji nustato dėsningumą, išreiškiamą funkcine pareinamybe tarp šių tiriamųjų dydžių, nesirūpindama gamtos reiškinių priežastingumo tyrimu.
Būdama vieninteliu griežtuoju mokslu, matematika atmeta tiriamųjų objektų individualius savumus, abstrahuoja (atsitraukia) nuo realybės, kurią ji atsieja pro savo koštuvą, ir sudaro tiriamųjų gamtos procesų bendrąsias idealiąsias schemas, kuriomis jos gauti dėsniai yra absoliučiai griežti ir tikslūs. Šių matematiškųjų dėsnių taikymas paskiriems realiems atvejams, pasitaikantiems aplinkos išorės tikrovėje (realybėje), yra būtinai reikalingas pataisų—korektyvų, pareinančių nuo tikrovės tiriamųjų objektų individualiųjų savumų.
-----------
 Moderni matematikos filosofija apibrėžia absoliutų skaičių, kaip vienos atsajos (abstrakčios) aibės individualų pažymį (išreiškiamą ženklu), kuris ją atskiria nuo kitų tos pačios rūšies abstrakčių aibių. Tačiau ši neaiški ir, palyginti, siaura skaičiaus definicija, neatitinka skaičiaus esmės tąja prasme, kuria nuo amžių operuoja matematika, ir todėl turi būti atmesta, šiuo klausimu ž. Georgi Schischkoff. Gegenwaertige philofophische Pro-bleme der Mathematik. Dr. Georg Luettke Verlag. Berlin 1944. Psl. 94. Pastaba

Matematika yra grynai objektyvus mokslas, kuriame visai neatsiliepia ir neatsispindi tyrinėtojo subjektyvus "aš". Nors matematikoj nuolat vartojami posakiai: "Iš čia gauname, turime, randame, žinome" ir pan. yra tarytum subjektyvaus pobūdžio, tačiau šie sakiniai iš tiesų neįneša į matematikos tyrimo sritį jokio subjektyvaus elemento. Šie posakiai įgavo matematikoje visas pilietybės teises, nors jie ir galima būtų pakeisti ir neasmenine forma: "iš čia gaunama, turima, randama, žinoma" ir pan.

Visa matematikos mokslo konstrukcija yra grindžiama postulatais-aksiomomis, kurie sudaro matematikos statybos tvirtus logiškus pamatus. Postulatais, arba aksiomomis, modernioje matematikoje vadinami paprasčiausieji neginčytini teigimai, priimti be įrodymo, kaip kitų tolesnių teigimų-tezių, kuriuos nusako šiais postulatais pagrįsti matematiškieji dėsniai, pagrindas. Jau graikų filosofas Platonas (429—348 prieš Kr.) reikalavo, kad kiekvienas matematikos dėsnis-teorema būtų sudarytas, kaip logiška išdava iš anksčiau įrodytų dėsnių. Tik nedaugelis paprasčiausių teigimų, kurie negalima pagrįsti kitais, dar paprastesniais teigimais, leista Platono susistemintų mokslų filosofojoje statyti matematikos mokslo konstrukcijos pagrindan; pvz., pagrįstas tik potyriu teigimas — postulatas: "Per du taškus erdvėje egzistuoja viena ir tik viena išvesta per šiuos taškus tiesė". Kadaise aksiomomis buvo vadinami savaime aiškūs teigimai. Tačiau itin sparti moderniosios matematikos raida sugriovė daug ligi šiol vartojamų aksiomų senąja prasme ir privertė rimtai suabejoti savaime aiškių teigimų egzistencija. Todėl XX-ojo amžiaus matematikoje nė vienas teigimas nėra savaime aiškus ir aksioma identifikuojama su postulatu, nors, istorinės tradicijos dėliai, įvardas aksioma (naująja prasme) paliktas pagrindiniams paprasčiausiems neįrodomiems teigimams apibūdinti. Aksiomų esmės nesuvokimas nemodernioje matematikoje neretai stabdydavo matematikos raidą. Pvz., ligi XIX a. pradžios matematika žinojo tik vieną, vadinamą euklidinę geometrijos sistemą, kurią graikų matematikas Euklidas (g. 365 prieš Kr.) yra 325 m. pr. Kr. paskelbęs savo pagarsėjusiame veikale Stoicheia (Elementą). Geometrijos pagrindan, be kitų aksiomų, Euklidas yra pastatęs V-ąją lygiagrečių tiesių aksiomą (pagal senesnį paskirstymą, vienuoliktąją aksiomą), kurios turinys, gana komplikuota forma Euklido nusakytas, galima iš esmės išreikšti šiaip: per kiekvieną erdvės tašką, gulintį duotos tiesės išorėje, galima išvesti viena ir tik viena tiesė, lygiagretė su duotąja tiese. Tačiau ši aksioma nesudaro jokio savaime aiškaus teigimo, ir todėl taip pat logiški bus ir kiti teigimai, kaip, pvz., "per kiekvieną erdvės tašką, gulintį duotos tiesės išorėje, galima išvesti ne tik vieną, bet be galo daug skirtingų tiesių, lygiagrečių su duotąja tiese". Šiuo postulatu-aksioma du XIX a. matematikai: rusas N. Loba-čevskis (1793—1856) ir vengras J. Bolyai (1802 —1860), eidami visai savarankiškai nustatytais keliais, vienas kito darbų nežinodami, pagrindė naują neeuklidinės geometrijos sistemą, vėliau pavatintą Bolyei-Lobačevskio geometrija. Gaus-so mokinys, pagarsėjęs geometras vokietis Rie-mann (1826—1866) sukūrė dar vieną skirtingą neeuklidinės geometrijos sistemą, vėliau pavadintą Riemanno geometrija, pagrindęs ją aksioma: "per kiekvieną erdvės tašką, gulintį duotos tiesės išorėje, negalima išvesti nė vienos tiesės, lygiagretės su duotąja tiese". Kaip tatai įrodo šių trijų geometrijos sistemų: Euklido ir 2-jų neeuklidinių: Bolyai-Lobačevskio ir Riemanno pagrindinimo gilesnis gvildenimas, šių sistemų esmė glūdi ne lygiagrečių aksiomoje, o tiesės sąvokoje, kaip tatai buvo pastebėta dar lietuvio ma-tematiko-teologo A. Jakšto-Dambrausko (18C0— 1938). Kaip griežtai įrodyta vokiečių genialaus matematiko K. F. Gausso XX a. pradžioje, visos šios geometrijos sistemos: Euklido ir neeuklidinės yra logiškai izomorfiškos; arba galioja jos visos, arba nė viena!

Matematikoje yra tik pagrindiniai paprasčiausi neredukuotini paprastesniems neįrodomi teigimai-aksiomos ir jų tiesioginės logiškos išda-vos-dėsniai arba teoremos. Greta jų, matematikoje operuojama susitarimais, kurie visuomet turi būti aiškiai nusakyti, norint išvengti galimų komplikacijų.

Paprasčiausi vartojami matematikoje skaičiai yra natūriniai skaičiai: vienas, du, trys, keturi . . ., kurie žymimi šiaip: 1, 2, 3, 4, 5, . . . Šie skaičiai sudaro seką, t. y. tokią elementų (šiuo atveju skaičių) visumą, kurioje kiekviename gre-timiĮ elementiį dvejete galima nurodyti, katras šio dvejeto elementas yra artimesnis ir katras tolesnis. Natūrinių skaičių sekoj: 1, 2, 3, . . . artimesnis dvejeto skaičius yra mažesnis skaičius, o tolesnios dvejeto skaičius yra didesnis skaičius. Natūrinių skaičių seka yra nepabaigiama, nes, leidus, kad ši seka yra baigtinė, t. y. leidus, kad vienas natūrinis skaičius yra šios sekos paskutinis elementas, tučtuojau gaunama, kad šis paskutinis skaičius yra visų didžiausias natūrinis skaičius, o tai yra nesąmonė: iš tiesų, pridėjus
 
A.   TAMOŠAITIENĖ Pirštines Vilniaus krašto motyvais

visų didžiausiam natūriniam skaičiui vienetą, gaunamas dar didesnis natūrinis skaičius, didesnis, negu "visų didžiausias" natūrinis skaičius! Natūrinių skaičių pavyzdžiu iliustruosime matematinio protavimo eigą. Visų natūrinių skaičių savumų gvildenimas ir nusakančių šiuos savumus dėsnių nustatymas remiasi keturiais postulatais:
1)    Vienetas yra natūrinis skaičius, nesudarąs jokio kito natūrinio skaičiaus sekmens (Nach-folger), t. y. prieš vienetą nėra nė vieno natūrinio skaičiaus;
2)    Kiekvienam natūriniam skaičiui egzistuoja vienas ir tiktai vienas gretimas eilinis tolesnis natūrinis skaičius. "Vienas ir tiktai vienas" suprantamas taip, kaip jį nustato logikos terminologija, būtent: "U yra vienas ir tiktai vienas, jei egzistuoja toks a, kuris yra U, ir kai a yra U ir w yra 17, tai a ir w yra identiški."
3)    Išskyrus vienetą, kiekvienas natūrinis skaičius yra gretimo eilinio natūrinio skaičiaus sekmuo.
4)    Kiekvienas nusakąs natūrinių skaičių savumus dėsnis laikomas įrodytu natūrinių skaičių sekos visiems elementams, jei a) šis dėsnis yra įrodytas vienetui ir jei b) leidus, kad šis dėsnis galioja natūriniam skaičiui ni = n, gaunama, kad šis dėsnis galioja tada ir natūriniam skaičiui
n* = n + 1.

Ketvirtas — išprotavimo iš n apie n + 1 postulatas sudaro matematiškosios indukcijos postulatą, dažnai klaidingai vadinamą visiškosios (pilnosios) indukcijos postulatu.

Išeidama iš šių keturių aksiomų-postulatų, matematikos šaka — teorinė aritmetika konstruoja visų natūrinių skaičių sritį, randa svarbiausias natūrinių skaičių savybes, prikergia jiems nenatūrinį skaičių — nulį, kaip dviejų lygių natūrinių skaičių skirtumą, ir nustato paimtus su ženklu — (minus) natūrinius skaičius, kaip nulio ir natūrinių skaičių skirtumus, pavadinusi juos sveikais racionaliais neigiamais skaičiais, ir tuo būdu natūrinių skaičių sritį praplečia į visų sveikųjų racionalių skaičių sritį, kurią sudaro skaičiai: 0, ±1, ± 2, ± 3,. . . Sveikieji racionalūs skaičiai yra vieninteliai skaičiai, sudarą išorės tikrovės atvaizdus- Tokių vaizdų nebesudaro, kaip pastebėjo anglų matematikas — škotas W. R. Hamilton (1805—1865), jau trup-meniniai racionalūs skaičiai, kurie gaunami, kaip dviejų sveikųjų racionalių skaičių dalybos vieno kitu (iškyrus dalybą nuliu) tiesioginė išdava. Racionali trupmena yra ne kas kita, kaip sujungtų tam tikra tvarka suderintų tarp savęs sveikųjų racionalių skaičių dvejetas.

Pradėjusi nuo paprasčiausių natūrinių skaičių savumų tyrimo ir keturių pagrindinių aritmetikos veiksmų ( sudėties, atimties, daugybos ir dalybos) su jais nustatymo, kas sudaro elemen-tinės aritmetikos tyrimo objektą, matematika apibendrina skaičiaus sąvoką, įveda nulį, neigiamuosius sveikuosius racionalius skaičius, trupme-ninius racionalius apibrėžtus skaičius ir pagaliau aritmetinius dydžius — bendrinius skaičus, kurių visas galimas reikšmes sudaro racionalūs skaičiai, gaunami iš natūrinių skaičių, pastaruosius sudedant, atimant, dauginant, keliant natūriniu laipsniu ir dalant ne nuliu. Prikergusi sudėčiai, atimčiai, laipsnio kėlimui, daugybai ir dalybai t y. penkiems racionaliesiems veiksmams dar šaknies traukimo operaciją, matematika konstruoja iracionalius skaičius, kurių šaknys negali būti išreikštos griežtai nė vienu racionaliu skaičiumi. Lyginių laipsnių šaknys iš neigiamųjų racionalių skaičių sudaro naują skaičių klasę — grynai menamus arba manomus skaičius.

Visų natūrinių skaičių aibei prikergę O, visų teigiamųjų trupmeninių racionalių skaičių aibę ir visų neigiamųjų racionalių skaičų aibę, gauname jungtinę nepabaigiamąją suskaitytinę visų racionalių skaičių aibę. Gautai tuo būdu kelių aibių sumai prikergę dar visų iracionalių, bet ne grynai menamųjų skaičių aibę, sudarysime visų tikrųjų skaičių nepabaigiamąją nesuskaitytinę aibę.

Tikrąjį, racionalų ar iracionalų skaičių sujungus su grynai menamuoju skaičiumi, gaunamas skaičių dvejetas, kuris galima laikyti tikrojo ir grynai menamojo skaičiaus suma. Ši suma vadinama paprastu kompleksiniu (sudėtiniu) skaičiumi. Šios sumos tikrasis dėmuo matuojamas tikruoju vienetu, o grynai menamasis dėmuo matuojamas grynai menamuoju vienetu, žymimu i arba j, kurio kvadratas laikomas sąlyginai lygiu neigiamajam tikrajam vienetui. Tuo būdu bendras paprasto kompleksinio skaičiaus pavidalas yra a + bi arba a + b j, kur a ir b yra tikrieji skaičiai, sudarą kompleksinio skaičiaus tikras komponentas. Jei bent viena šių komponentų lygi tiesioginei begalybei, tai kompleksinis skaičius virsta kompleksine begalybe. Kai a ar b arba abu drauge sudaro netiesioginę begalybę, tai skaičius a + bi virsta kompleksine netiesiogine begalybe. Sudarę trijų dėmenų sumą, kurios pirmas dėmuo matuojamas tikruoju vienetu, o kiti du dėmenys matuojami dviem skirtingais menamais vienetais, gauname skaičių trejetą (ternioną), vadinamą antrosios eilės kompleksiniu skaičiumi, definuojamu, kaip tikrojo skaičiaus ir dviejų skirtingų grynai menamųjų skaičių suma. Ternionas galima redukuoti paprastam kompleksiniam skaičiui. 1852 m. anglų matematikas škotas Hamilton yra įvedęs į matematikos tyrimo sritį hiperkompleksinius arba ultrakom-pleksinius skaičius-kvaternionus (ketvertus). Kvaternioną sudaro vieno tikrojo ir trijų iš esmės skirtingų grynai menamųjų skaičių suma. Kvaterniono dviejų skirtingų menamųjų vienetų sandaugai galioja ne komutatyvus (perstatinėji-mo), bet alternatyvus (skaitliojimo) dėsnis: sudauginamiesiems pasikeitus vietomis, šių dviejų skirtingų menamųjų vienetų sandauga keičia savo ženklą į priešingą, nekeisdama tačiau savo didumo. Kvaternionas yra trečiosios eilės kompleksinis skaičius.

Sudarę atitinkamas penkių, šešių, septynių ir t. t. dėmenų sumas, kurių tik vienas dėmuo yra tikrasis skaičius, o visi likusieji dėmenys yra skirtingi grynai menamieji skaičiai, gauname aukštesnių eilių hiperkompleksinius skaičius, vadinamus K Weierstrasso (1815—1897) skaičiais. Jei hiperkompleksinių skaičių skirtingų menamųjų vienetų skaičius be galo didėja, tai šių vienetų visuma sudarys suskaitytinę nepabaigiamąją aibę, ir hiperkompleksinis skaičius virsta be galo didelio skaičiaus dėmenų suma, vadinama ne Archimedo (oc287—212 pr. Kr.) skaičiumi. Grynai menamieji vienetai atitinka nukreiptus (krypties) dydžius, vadinamus vektoriais, kuriems apibrėžti reikia duoti ne tik tikras skaičius, bet ir dar kryptis: pvz., veikianti materialų kūną jėga yra vektorius. Aritmetiniai dydžiai, kuriems apibrėžti pakanka duoti tikras skaičius, vadinami skaliarais. Pvz., materialaus kūno masė, mechaniškas darbas yra skalia* ai Jei dauginant du vektorius, gauni*mas sandaugos vektorius, tai ir saudauga vadinama vektorinė ir pati vektorinė daugyba žymima ženklu X tarp sudauginamųjų. Jei dviejų vektorių sandauga sudaro skaliarą, tai ir sandauga vadinama skaliarinė ir pati skaliarinė daugyba žymima ženklu . (tašku) tarp sudauginamųjų vektorių.

Tuo būdu matematika nustato tris pagrindines skaičių klases: tikrųjų skaičių, paprastų kompleksinių skaičių ir hiperkompleksinių skaičių. Šių skaičių klasių bendruosius savumus ir nusakančius šiuos savumus dėsnius tiria ir nustato matematikos disciplina, vadinama teorinė aritmetika. Kita matematikos šaka -- skaičių teorija yra pačių skaičių mokslas, tiriąs individualius vis ą rūšių skaičių savumus. Skaičių teorija visų pirma operuoja natūriniais skaičiais, sveikais racionaliais, sveikais kompleksiniais ir sveikais hiperkompleksiniais skaičiais. Paprasti kompleksiniai skaičiai a + bi, kur a ir b yra tikrieji skaičiai, o grynai menamas vienetas pažymėtas i. vadinami sveikais kompleksiniais skaičiais, kai a ir b yra sveikieji racionalūs skaičiai. Hiperkompleksiniai skaičiai (Weiestrasso skaičiai) ao + a1i1+a2i2 + .. . + an*n, kur n > 2, o ao, a1, a2,. . . , an yra tikrieji skaičiai ir i1. i2,.... , in yra skirtingi menamieji vienetai, vadinami sveikais hiperkompleksiniais skaičiais, jei visitikrieji skaičiai: ao, au a2, . .. , an yra sveiki racionalūs skaičiai.

Tiriamųjų sveikųjų skaičių sritį skaičių teorija praplečia ir prikergia šiai sričiai sveikųjų algebrinių skaičių sritį. Algebriniais skaičiais vadinamos natūrinio laipsnio algebrinės lygties vienu nežinomuoju, kai visi atitinkamojo daugianario koeficientai yra sveikieji racionalūs skaičiai, šaknys. Specialiu atveju, kai vyriausiojo nario koeficientas virsta vienetu, o visi kiti koeficientai yra bet kurie sveikieji racionalūs skaičiai, algebrinės lygties visos šaknys (tikrosios ir kompleksinės) vadinamos sveikais algebriniais skaičiais. Nealgebriniai skaičiai negali būti jokios algebrinės natūrinio laipsnio lygties sveikais racionaliais koeficientais tikromis ar kompleksinėmis šaknimis; nealgebriniai skaičiai imdinami transcendentiniais skaičiais. Pavyzdžiui, apskritimo ilgio geometrinis santykis su to paties apskritimo skersmeniu sudaro transcendentinį skaičių ir. Kad TT yra nealgebrinis, bet transcendentinis skaičius, tai pirmą kartą buvo griežtai įrodyta vokiečių matematiko Ferdinando Lindemanno 1882 m. straipsnyje: "Ueber die Zahl TT". Įrodęs, kad ?r yra transcendentinis skaičius, Lindemann yra tuo būdu neigiamai išsprendęs skritulio kvadratūros problemą, kuri 2100 m. laiko tarpu likdavo neišspręsta ir atvira problema. Šios problemos esmė buvo tokia: ar galima tik skriestuvo ir liniuotės pagalba išbrėžti skritulys, griežtai lygiaplotis duotajam kvadratui? Šis uždavinys yra tolygus problemai: ar galima, vartojant tik skriestuvą ir liniuotę, griežtai išbrėžti skaičius ir, lygus duotojo skritulio ploto geometriniam santykiui su to paties skritulio radiuso kvadratu? Matematikoje įrodyta, kad tik algebriniai skaičiai galima griežtai išbrėžti, vartojant tik skriestuvą ir liniuotę; transcendentiniai skaičiai tokio savumo visai neturi. Tad Lindenmann, įrodęs skaičiaus ir transcen-dentiškumą, eo ipso yra įrodęs skritulio kvadratūros problemos sprendimo negalimumą.

Dabartinėje matematikos raidos fazėje matematika turi aibę didesnių ir siauresnių problemų, laukiančių atitinkamojo sprendimo. Tad plačioje visuomenėje pasklidusi nuomonė, kad matematikos tolesnė raida yra neįmanoma, nes visi matematikos klausimai yra išspręsti, ir kad tuo būdu matematika yra galutinai susikristalizavęs mokslas, kuriam nieko nepridėsi ir iš kurio nieko neatimsi — yra perdėm klaidinga! 1932 m. Šveicarijoje Ciuriche įvykusiame tarptautiniame matematikų kongrese įžymiausias XX a. matematikas, miręs 1943 m., vokietis Dovydas Hilbert yra paskelbęs 30 tik didžiųjų matematikos problemų, ligi šiol neišspręstų ar neišsprendžiamų turimomis matematikos priemonėmis. Iš tokių problemų itin minėtinos dvi: Fermato didžioji problema ir daugelio dangaus kūnų problema. Genialus prancūzų matematikas, iš profesijos teisininkas, Petras Fermat (1601—1665) Diofanto (oo 250—300) aritmetikos paraštėse yra palikęs trumpą užrašą, kad jam pavyko įrodyti teoremą: lygtis xn + yn — zn, kur n yra natūrinis skaičius, nemažesnis, kaip trys, yra neišsprendžiama sveikais racionaliais nelygiais nuliui skaičiais x, y, z; tačiau, Fermato teigimu, vietos stoka neleidžia jam šio dėsnio įrodymą surašyti! Praslinko jau 300 metų nuo Fermato dėsnio pdskelbimo, ir ligi šiol lieka bergždžios eilinių ir įžymiausių matematikų visos pastangos šiai teoremai griežtai įrodyti arba nustayti bent vieną sveikųjų racionalių skaičių a:, y> z trejetą, kuris patenkintų aukščiau duotą neapibrėžtinę lygtį, esant n y 2 Matematikų pastangos Fermato didžiajam dėsniui įrodyti, nors ligi šiol šio įrodymo ir nenustatė, tačiau davė ir teigiamųjų vaisiu: šių pastangų dėka, E. E. Kummero (1810—1893), J. W. Dedekindo (1831—1916), L. Kroneckerio (1823—1891) irkt. buvo sukoncentruota skaičių kūnų ir šių kūnų idealų teorija.

Skaičių kūnu K vadinama skaičių teorijoje tokia tikrųjų, paprastųjų kompleksinių arba hi-perkompleksinių skaičių nepabaigiamoji aibė, kurios elementai — skaičiai patenkina dvi sąlygas: 1) bent du skirtingi skaičiai sudaro šios aibės elementus ir 2) jei du skaičiai p ir q (skirtingi arba vienodi) sudaro aibės K elementus, tai taip pat skaičiai: p + Q, p — q, pq ir, kai q = 0, tai skaičius P/Q sudaro taip pat kūno K elementus. Jei skaičiai, sudarą skaičių kūno K, trumpiau kūno K, elementus yra racionalūs skaičiai, tai atitinkamas skaičių kūnas įprasta žymėti P. Kūnas P yra visų mažiausias skaičių kūnas ir sudaro kiekvieno skaičių kūno K dalinį kūną, t. y. kiekvienam skaičių kūnui K priklauso visi skaičių kūno P elementai, tačiau skaičių kūne K gali atsirasti tokie skaičiai, kurie nesudaro skaičių kūno P elementų. Du skaičių kūnai, Kx ir K2 sudaryti griežtai iš tų pačių skaičių, laikomi lygiais skaičių kūnais. Tai įprasta žymėti šiaip: K1 = K2 *) Kiekvienas kūnas K, nelygus kūnui P, eo ipso turi bent vieną elementą — skaičių, kuris yra arba iracionalus, arba nėra tikras (realus) skaičius, t. y. arba grynai menamas, arba paprastas kompleksinis, arba hiperkompleksinis skaičius. Nulis visuomet priklauso kiekvienam skaičių kūnui K. Jei polinomo (daugianario), kurio laipsnis n yra neneigiamas sveikas racionalus skaičius, visi koeficientai priklauso kūnui K, tai sakoma, kad šis daugianaris yra polinomas kūne K. Skaičius m vadinamas reliatyviai algebriniu skaičiumi kūne K, jei šiame kūne egzistuoja toks tapatybiniai neišnykstąs polinomas, kurio vieną nulinę vietą (šaknį) sudaro skaičius m.
-----
*) ženklas = (trys lygiagretiški brūkšniai) yra tapatybės ženklas.

Tegul a, b, c, . . . ., m reiškia apibrėžtus sveikuosius algebrinius skaičius, sudarančius skaičių kūno K elementus, kurie ne visi drauge yra lygūs 0-iui. Šiomis sąlygomis n-tojo laipsnio skaičių kūno K idealu, arba trumpiau idealu vadinama tokių skaičių aibė, kurie bent vienu būdu galima atvaizduoti tiesine alegbrine forma: pa + + qb + rc -f . . . + mv, kur skaičiai p, q, r,.. . v yra sveikieji algebriniai skaičiai, sudarą n-tojo laipsnio algebrinio skaičių kūno K elementus. Pagal šią apibrėžtį, idealą sudaro visų sveikųjų algebrinių skaičių pavidalo pa -f qb -f- r c + . . . -t- mv nepabaigiamoji aibė, taip kad kiekvienas idealo elementas yra sveikas algebrinis skaičius. Šioje kūno K sveikųjų algebrinių skaičių nepabaigiamoje aibėje yra bent vienas, nelygus nuliui elementas, sudarąs sveiką algebrinį skaičių. Kiti to paties idealo elementai sudaromi iš šio, nelygaus nuliui pagrindinio elemento sudėties, atimties ir daugybos keliu. Skaičių kūnų idealai turi visus natūrinių skaičių savumus. Idealų tyrimas sudaro moderniossios skaičių teorijos vieną svarbiausių problemų.

"Be ligi šiolei neišspręstos definityviai Fermato didžiosios problemos, taip pat laukia sprendimo matematiškomis priemonėmis trijų ir daugelio kūnų problema astronomijoje ir dangaus mechanikoje. Tai yra problema, kurioje tiriamas dangaus kūno judesys mažiausiai dviejų kitų kūnų įtakoje, kai vienintelės tarp šių kūnų veikiančios jėgos yra visuotinės gravitacijos New-tono jėgos, atvirkščiai proporcingos dviejų materialių kūnų tarpusavio nuotolio kvadratui. Mechanika jau trijų kūnų judesio problemą gali išspręsti ir sprendžia tik tuo atveju, kai problema yra suprastinta, pvz., leidžiama, kad visi trys tiriamieji judesio atžvilgiu dangaus kūnai turi savo masių centrus vienoje plokštumoje ir pan. Kaip yra įrodęs H. Poincare (1856—1912), iš reikalingų trijų kūnų tarpusavio judesiui nustatyti dešimties integralų dabartiniais matematikos metodais galima nustatyti tik keturi integralai! Griežtas trijų ir daugelio dangaus kūnų judesio problemos sprendimas yra neįmanomas, vartojant ligi šiol žinomus analizinius metodus, ir yra reikalingas matematikos raidos, kurios dėka galima laukti atsiradimo naujų, ligi šiol nežinomų, matematinių metodų, kuriais ir galima būtų ši problema išspręsti. Jau aukščiau išdėstyti du pavyzdžiai rodo, kad, priešingai nusistojusiai visuomenėje nuomonei, matematikos raida ne tik nėra stabilizuota, bet žengia sparčiai į priekį. Matematikoje periodiškai atsiranda naujų disciplinų, kurios kuriamos, norint visų pirma išspręsti tokius klausimus, atsako į kuriuos reikalauja iš matematikos kiti, negriežtieji mokslai, pvz., technika, tuo tarpu matematika buvo dar nepakankamai išsirutuliavus šiems klausimams griežtai išspręsti. Paskutiniųjų 25-rių metų laikotarpiu kilo, pvz., naujoji matematikos šaka — integrali geometrija, kurios kūrėju yra Hamburgo universiteto prof. W. Blaschke; prieš tai buvo sukurta integralių lygčių teorija ir pan.

Savo protavimams ir šių protavimų išvadoms trumpai ir suglaustai fiksuoti, matematika vartoja formulas, kurios sudaro matematiškų minčių stenogramas — trumpus sutartinus užrašus, kuriuos kiekvienas matematikas lengvai dešifruoja. Formulos neturi nieko bendra su matematikos esme; formulų laikymas atmintyje sudaro nereikalingų žmogaus proto apkrovimą ir nėra nieku būdu logiškai pateisintas. Vengiant apsunkinti protą apkrovimu formulomis, tenka ir rekomenduotina gatavos formulos imti iš atitinkamų matematikos knygų, neapsunkinant atminties šių formulų kalimu.

Natūrali matematikos raida yra kylančių pačioje matematikoje naujų problemų ir ligi šiol neišspręstų problemų sprendimų ieškojimo ir atitinkamų susijusių su šiomis problemomis klausimų pagilinimo ir tyrimo išdava. Nors matematika visuomet buvo ir lieka scientia pro scientia (mokslas dėl mokslo) ir nors ji, plėsdama savo tyrimo sritį ir įvesdama naujas sąvokas ir konstruodama naujus gvildenimo metodus, visai neatsižvelgdavo į tai, ar jos nauji metodai ir naujos matematitškos sąvokos bus taikomi kitiems mokslams, tačiau ne kartą stiprų akstiną savo moksliniam akiračiui praplėsti ji patirdavo iš kitų, giminingų jai taikomųjų mokslų. Ji negali likti abejinga pareikštiems jai kitų mokslų reikalavimams ir, stingant atitinkamų metodų, turi praturtinti savo turinį naujais metodais, norėdama tinkamai išspręsti statomas jai kitų mokslų neišspręstas arba naujai iškilusias, ryšium su šių mokslų raida, problemas.

Tirdama gamtos procesus ir įvertindama juos kiekybiniu atžvilgiu, matematika išskiria figūruojančius šiuose procesuose matuojamus dydžius, nustatydama ryšį tarp jų atitinkamais dėsniais, nusakančiais šių dydžių savumus. Grynai matematikai visų pirma rūpi tiriamųjų procesų dėsningumas, veikianti tarp procese pasireiškiančių dydžių savitarpio funkcinė pareinamybė.

Dydžiai, kuriais operuoja matematika, yra dviejų pagrindinių rūšių: pastovūs ir kintamieji dydžiai. Pastovūs tiriamos problemos sąlygomis dydžiai turi be galo daug reikšmių, tačiau visos šios reikšmės yra vienodos, taip, kad pastovus dydis iš tiesų turi vieną ir tiktai vieną pasikartojančią reikšmę, išreiškiamą tikruoju ar kompleksiniu skaičiumi. Kintamasis tiriamos problemos sąlygomis dydis turi skirtingas reikšmes, išreikštas tikrais ar kompleksiniais skaičiais, ir šių reikšmių aibė, kai dydis kinta tolydžio ar trūkiai, pastaruoju atveju sudarydamas baigtinius ar nepabaigiamus šuolius ir spragas, gali būti nepabaigiama. Pastovūs vienam klausime dydžiai gali tapti kintamais kitos problemos atžvilgiu ir atvirkščiai. Duotojo apskritimo bet kurio taško nuotolis nuo apskritimo centro yra pastovus dydis, lygus šio apskritimo radiusui, o duotos to paties apskritimo plokštumoje laisvai parinktos tiesės bet kurio taško nuotolis nuo apskritimo centro yra kintamas dydis, turįs be galo daug skirtingų reikšmių. Kintamieji dydžiai, kurių galimos reikšmės, išreikštos tikrais ar kompleksiniais skaičiais, parenkamos visai laisvai, ne ryšium su kitų kintamųjų dydžių galimų reikšmių parinkimu, vadinami laisvais arba nepriklausomais kintamaisiais arba argumentais. Jei keli dydžiai kinta taip, kad visiems jų, be vieno, laisvai įsigijus bet kurias savo reikšmes, likusio vieno dydžio atitinkamos reikšmės negali būti laisvai parinktos, bet yra suderintos su likusiųjų dydžių duotomis reikšmėmis, sudarydamos vieną visai apibrėžtą skaičių ar kelis apibrėžtus skaičius, tai pastarasis dydis vadinamas likusiųjų dy-džių-argumentų vienareikšmė ar daugiareikšmė matematinė funkcija, arba trumpiau funkcija. Pagal bendriausią Lejeune-Dirichlet (1805— 1859) funkcijos apibrėžti, kintamasis dydis y vadinamas kintamojo dydžio x funkcija, jei y—o reikšmės yra suderintos (koordinuotos) su duotomis x—o reikšmėmis. Ryšį tarp argumentų ir jų funkcijos nustato arba lentelė, kurioje surašomos funkcijos reikšmės, atitinkančios duotas toje pačioje lentelėje argumentų reikšmes, arba formula, nustatanti funkcinės pareinamybės tarp argumentų ir jų funkcijos analizinę išraišką. Ši formula nusako, kokios operacijos ir kuria tvarka reikia nuveikti su duotomis laisvomis argumentų reikšmėmis, norint nustatyti suderintas su šiomis reikšmėmis funkcijos reikšmes. Šios funkcinės tarpusavio pareinamybės tarp kinta-mųjų dydžių ieškojimas ir nustatymas atitinkamųjų analizinių formulų pavidalu sudaro vieną svarbiausių matematikos uždavinių.

Be funkcinio ryšio, tarp kintamųjų dydžių gali būti koreliacinis santykiavimas, kuris pasireiškia tuo, kad visų tiriamųjų kintamųjų dydžių, be vieno, laisvai parinktųjų galimų reikšmių davimas (užduotis) keičia likusiojo kintamojo dydžio apibrėžtos galimos reikšmės matematiškąją tikimybę. Šis pastarasis dydis vadinamas tada surištu (koreliaciniu santykiavimu) likusiųjų kintamųjų dydžių atžvilgiu kintamuoju dydžiu arba trumpai surištu dydžiu, o likusieji dydžiai vadinami nepriklausomais (koreliaci j os atžvilgiu) kintamaisiais dydžiais.
Šį koreliacinį kintamųjų dydžių santykiavimą tiria ir atitinkamus priežastingumo ryšius tarp reiškinių nustato mokslas apie atsitiktinius įvykius ir nusakančius šių įvykių savybes dėsnius, vadinamas tikimybių teorija. Tikimybių teorija yra taikomos matematikos disciplina. Gamtoje nėra atsitiktinių griežta to žodžio prasme įvykių: kiekvienas įvykis yra vieno ar kelių kitų įvykių tiesioginė ar netiesioginė išdava — pasekmė ir savo ruožtu pats yra kito ar kitų įvykių, kuriuos jis sukelia, priežastimi. Tačiau žmogaus protas savo netobulumo dėka, dažnai yra bejėgis visoms tiriamojo įvykio priežastims, kurių tik mažąją dalį jis yra susekęs, nustatyti. Tokie įvykiai vadinami atsitiktiniais. Atsitiktinių įvykių pasirodymo pasitikėjimo laipsnį nustato naujas dydis — matematiškoji tikimybė. Atitinką laukiamąjį įvykį atvejai vadinami palankiais laukiamam įvykiui, jei vienam šių atvejų atsitikus, laukiamas įvykis būtinai turi įvykti. Nepalankūs laukiamam įvykiui arba jam priešingi yra tokie atvejai, kiekvienam kurių atsitikus, laukiamas įvykis negali įvykti ir tikrai neįvyksta. Visų palankių laukiamam įvykiui atvejų skaičius, sudėtas su visų nepalankių laukiamam įvykiui atvejų skaičiumi, sudaro visų, atitinkančių klausimą: kas turi atsitikti? — atvejų skaičių. Tiriamieji atsitiktinio įvykio atvejai yra 1) lygiai galimi, t. y. nei vienas jų neturi pirmenybės pasirodyti prieš kitą, 2) vien tiktai galimi, t. y. įvykiui įvykus, vienas šių atvejų būtinai turi atsitikti, ir negali atsitikti joks kitas atvejąs, ir pagaliau 3) nesutaikomi, t. y. vienam šių atvejų atsitikus, likusieji tiriamieji atvejai tuo pat metu negali atsitikti. Matematiškąja laukiamojo atsitiktinio įvykio tikimybė vadinamas visų lygiai galimų, vien tik galimų ir nesutaikomų atvejų? palankių laukiamam įvykiui, skaičiaus geometrinis santykis su visų lygiai galimų atvejų,, atitinkančių klausimą, skaičiumi. Tikrojo įvykio tikimybė lygi vienetui ir vadinama tikrenybė. Negalimojo įvykio tikimybė lygi nuliui ir vadinama negalimybė. Atsitiktinio įvykio tikimybė tuo būdu išreiškiama bendrai tikrąja teigiamąja aritmetine trupmena; tikimybės maximum yra 1, o minimum 0. Matematiškosios tikimybės vienetą sudaro tikrenybė. Be nustatomo, tikimybės pagalba, koreliacinio santykiavimo tarp kintamųjų dydžių, gali būti tarp šių dydžių aukščiau ištirtas funkcinis ryšys, nustatomas matematiškosios analizės priemonėmis. Abiem atvejais — koreliacinio santykiavimo ar funkcinės pareinamybės tarp duotųjų dydžių — tyrimas redukuojamas operavimui skaičiais, šiais gražiausiais ir giliausiais žmogaus intelekto padariniais. Tačiau skaičių mokslas — matematika negali būti tobulas, nes ir šio mokslo kūrėjas — žmogaus protas, pagaminęs skaičiaus sąvoką, yra labai tolimas tam intelekto idealui, kurį taip vaizdžiai, nors ir perdėtai, yra nupiešęs pagarsėjęs prancūzų astronomas — matematikas Laplace (1749—1827):
"Jeigu egzistuotų toks intelektas, kuriam vieną akimirksnį būtų leista sužinoti visos gamtoje veikiančios jėgos ir visatos sudėtinių dalių tarpusavio suskirstymas ir jei, be to, šis protas būtų pakankamai galingas šiems duomenims analizei pavergti, — tai toks asmuo (intelektas) viena formula išreikštų ne tik didžiausių visatos kūnų, bet taip pat ir lengviausio atomo judesius. Tokiam protui nebūtų likę nieko nežinomo, ir ateitis, lygiai kaip ir praeitis, atsistotų prieš jo žvilgsnį. Žmogaus dvasia toje tobulybėje, kurią ji sugebėjo suteikti astronomijai, rodo tik silpną šio intelekto siluetą. Jos išradimai mechanikoje ir geometrijoje, kartu su visuotinės traukos dėsnio nustatymu, tik priartino ją prie pasaulio sistemų būsimų ir buvusių stovių suvokimo ir nusakymo vienodomis analizinėmis išraiškomis. Taikydama šį metodą kai kuriems kitiems savo pažinimo objektams, ji įstengė apibendrinti stebimų reiškinių vyriausius dėsnius ir numatyti tuos reiškinius, kuriuos iškelia duotos apystovos. Jos pastangos tiesai rasti tik priartina ją prie aukščiau atvaizduoto intelekto, kuriam ji tačiau visada liks be galo tolima.,1)

------
1)J) žiūr. Oeuvres completes de Laplace. Paris 1876. T. 6 psl. VII.

Baigiantis XX a. pirmajai pusei, žmogaus intelektas, pagilinęs gamtos jėgų pažinimą, sugebėjo susekti dar vieną sunkiausiai suvokiamų gamtos paslapčių, nuodugniai išanalizavęs "lengviausio atomo" judesį ir nustatęs atominio mikrokosmo vidinį pasaulį. Šio mikrokosmo struktūros pažinimo tiesioginis rezultatas — uranijaus ir vandenilio izotopo atomo suskaldymas, vartojant žmogaus genijaus surastas ir pagamintas atomines bombas. Tačiau žmogaus aumuo, naują istorijos erą pradedąs atominės energijos taikymo žmonijos civilizacijos raidai ženklu, ir dabar lieka netobulas ir be galo tolimas tam idealiam protui, kurį taip įtikinamai apibūdino Laplace! Tad ir vienas giliausių ir darniausių šio žmogaus proto kūrinių — matematika, netobulo intelekto darinys, niekados negalės pasiekti tobulumo ir būtinoje tolydinėje savo raidoje turės ieškoti ir kurti naujus matematiškojo tyrimo metodus, stengdamasi duoti griežtą logišką sprendimą visų tų problemų, kurias ji pati iškelia ir kurias jai duoda ir duos kiti gamtos mokslai, visų pirma empiriniai mokslai.

 
 
Sukurta: Kretingos pranciškonai